Tiens, i^i = 0,20787957635

C’est amusant.
Ça vient du fait que i = exp(i Pi/2), et donc i^i = exp(i Pi / 2)^i = exp(i² Pi / 2) = 1/exp(Pi/2) = 0,20787957635

Les maths sont étonnantes (oui je découvre ce résultat là).

En vrai je suis en train d’étendre mon outil de visualisation d’ensembles de Mandelbrot à d’autres puissances. C’est quelque chose que je voulais déjà faire depuis longtemps. Mandelbrot, c’est Z²+C. Je veux le faire étendre à Z³+C, Z⁴+C, et ainsi de suite.

J’obtiens déjà des résultats :
https://lehollandaisvolant.net/img/91/mandelbrot-powers-0.png
https://lehollandaisvolant.net/img/5e/mandelbrot-powers-1.png

Par contre, JS semble merder pour les puissances impaires et je pige pas pourquoi >_<.
Edit : la couleur provient du nombre d’itérations nécessaires dans la suite de Mandelbrot pour dépasser une valeur limite. Dans le cas des puissances impaires, il arrive que les valeurs obtenues à l’itération limite soient négatives. Ceci posait problème dans la fonction qui « lissait » l’échelle des couleurs (qui utilisent un Math.log()). Bref, une connerie qui m’a fait chercher plusieurs heurs.

Bref, ça m’a fait penser à ce que devait être i^i.

Pour les maths :
https://couleur-science.eu/?d=ebe50c--quoi-correspondent-les-figures-de-mandelbrot
https://couleur-science.eu/?d=cfaa7c--dou-viennent-et-les-nombres-imaginaires

La différence entre le diagramme de Venn et ceux d’Euler (et de Carroll).

Voir aussi : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euler_and_Venn_diagrams.svg?uselang=fr
https://creately.com/blog/diagrams/venn-diagrams-vs-euler-diagrams/

Via le récent XKCD : https://xkcd.com/2721/

Mindblow mathématique du jour :

The powers of the golden ratio (φ) can all be expressed in terms of φ. Each power is the sum of the two previous powers - the coefficients of φ and integer parts form the Fibonacci sequence.

φ²=φ+1
φ³=2φ+1
φ⁴=3φ+2
φ⁵=5φ+3
φ⁶=8φ+5

Où φ, lire « phi », est le nombre d’or.

Les puissances de φ peuvent être exprimées en fonction de φ, et les différents coefs sont les termes de la suite de Fibonacci, très liée au nombre d’or (le rapport du terme N+1 sur le terme N tend vers φ plus N grandit).

Pour rappel, φ est lui-même défini comme [ 1 + racine(5) ] / 2.
Cette propriété des puissances de φ peut donc être revérifiée en mettant cette expression entière à la puissance voulue.

Une vidéo sur la FFT, ou transformation de Fourier rapide, (Fast Fourier Transform).

La transformation de Fourier, c’est ce qui permet de décomposer un signal compliqué (son, par exemple) en une somme de signaux très simples, essentiellement une somme de sinusoïdes parfaites.
Stocker l’information de ces sinus prend alors moins de place que stocker le signal initial. C’est comme ça que fonctionne par exemple le format de compression audio MP3 : https://couleur-science.eu/?d=dc0354--introduction-a-la-decomposition-de-fourier

Il s’agit d’une compression destructive : certaines informations sont éliminées, mais ce sont des pertes imperceptibles à l’oreille. Ainsi, l’utilisateur moyen d’un MP3 se contente très largement d’un MP3 320 kbps à la place du lossless, et le réseau téléphonique peut descendre à 12 voire 4 kbps, et toujours être intelligible.

Le problème dans la transformation de Fourier, c’est que ça demande beaucoup de calculs pour décomposer un signal. Un son d’une seconde à 128 kbps va demande 128000² opérations complexes, soit 16 milliards d’opérations… et pour une seule seconde audio !

Sauf que certains de ces calculs sont redondants (comme le montre la vidéo) et en jouant sur ça, on réduit le nombre de calculs à 653 000 opérations (pour notre exemple, au lieu de 16 milliards).

L’algorithme qui utilise cette optimisation s’appelle la FFT et est utilisée absolument partout en traitement du signal, que ce soit les formats de fichiers compressés (MP3, JPEG…), la transmissions de signaux (4G, 5G, Wifi…), ou l’analyse de signaux inconnus captés par une antenne (signaux radars, dont l’analyse permet de déterminer la source du signal inconnu).

L’algo actuellement utilisé date du XXe siècle, et devait être utilisée pour détecter des détonations de bombes nucléaires pendant la course à l’armement de la (première) Guerre Froide.

Mais dans la vidéo j’apprends qu’un algo très similaire avait déjà été proposé un siècle avant par… Carl Friedrich Gauss.

Je suis content aujourd’hui.
Au boulot, j’utilise une de ces figures de Lorenz en fond d’écran. Une figure faite avec mon générateur personnel : https://lehollandaisvolant.net/tout/tools/lorenz/

Un collègue a bien aimé et je lui en ai donné un également :D
J’aime voir le monde s’émerveiller, même un peu, devant la science et l’art issue des mathématiques.

Si y en a d’autres qui veulent, j’ai quelques fond d’écrans ici : https://lehollandaisvolant.net/tout/folio/?fol=butterfly-lorentz&page=all

Sinon, jouez avec les paramètres dans le générateur. Le mieux est de mettre genre 20000 points et de mettre la vitesse à 0, de changer les couleurs, l’orientation, le zoom, puis de mettre le nombre de points à 100k, 200k puis de monter.
La génération de ces figures est assez gourmande en ressources (ça reste du JS dans une page web), et mettre peu de points (20k) permet de modifier plus facilement. Quand on a une position qui va bien, on monte les points progressivement.
Si vous mettez un très grand nombre de points (>200k), n’hésitez pas mettre une valeur de 0.5 px pour l’épaisseur du trait.

Inutile de toucher aux paramètres sigma, bêta et rho (sauf si vous savez ce qu’ils signifient).

Pour info, les captures d’écran le plus completes dans ma liste sont faites avec 2M de points (prends ~10 secondes pour générer).

Trop bien, des posters et affiches en haute résolution, sur les maths !

Via Arfy : https://arfy.fr/dotclear/index.php?post/2022/09/19/sorciersdesalem-math-cnrs-fr-Posters-de-mathematiques

On sait que la moyenne est peu représentative.
Si Bill Gates entre dans un bar de smicards, tout le monde — en moyenne — est milliardaire.
La moyenne ne représente pas grand chose à l’échelle individuelle car une seule « anomalie » fausse considérablement la donne.

La médiane est un peu plus pratique pour se situer car une seule valeur ne peut pas fausser tout le reste. Pour trouver la médiane, il s’agit de ranger tous les salaires par ordre croissant et de prendre le salaire pile au milieu.

S’il y a 9 personnes (impaire), on prend le salaire de la 5e. S’il y a 10 personnes (nombre pair), on prend la moyenne des deux valeurs du centre (4e et 5e).

Maintenant si Bill Gates rentre dans un bar de smicards, la médiane est… le smic. C’est mieux. Mais quid si le bar n’est pas que rempli de smicards ?

S’il y a 5 smicards et 5 personnes qui gagnent plus ? Alors la médiane sera entre le 5e smic et le 6e salaire plus élevé.
Si Bill Gates entre dans un bar, la médiane devient ce 6e salaire.
Ça reste donc mieux que la moyenne, mais ce n’est toujours pas réellement représentatif.

Pour la valeur représentative, on utilise pas la moyenne ni la médiane, mais la norme.
Là il s’agit de compter le nombre de personnes avec un salaire donné. Ici, on aura par exemple 5 smic, 2 personnes gagnant 2 000, et les autres gagnant respectivement 2500, 3000 et 5000.
Si Bill Gates rentre dans un bar, alors le salaire le plus représentatif reste le smic. La norme est la valeur (ou l’intervalle de valeurs) la plus représentée dans un échantillon de données.

Maintenant, si 15 milliardaires entrent dans le bar, le revenu le plus représentatif devient celui d’un milliardaire et c’est normal. Et c’est normal.

Sur le graphique dans la page de l’INSEE :
– la moyenne est 2 518 €
– la médiane est 2 005 €
– la norme est 1 550 € (c’est la barre comptant les salaires entre 1 500 et 1 600, d’où j’ai pris le milieu).

Autrement dit, si vous gagnez 1 700 €, votre salaire est déjà plus élevé que la normale.

On voit également ici que la norme (ou la normale), la médiane et la moyenne sont quand-même des valeurs très différentes.

Si jamais, à un entretien d’embauche par exemple, on vous parle de la moyenne des salaires, sachez que ça ne veut rien dire. Exigez au moins d’entendre la valeur de la médiane. Si on ne vous fait pas de gros yeux, demandez la norme.

Bien-sûr, la moyenne et la médiane ne sont pas inutiles. Elles donnent des informations sur l’échantillon dans son ensemble. La médiane permet de se situer de quel côté de l’échantillon on se trouve, et la norme permet de voir si l’on est représentatif de l’ensemble. La moyenne quant à elle peut être comparée à une autre moyenne, comme dans la boîte d’à côté, ou encore la moyenne femme avec la moyenne homme.

Ah oui j’avais vu passer ça : les commentaires Amazon pour les bougies parfumées qui disent « Nul, elle ne sent rien, cette bougie ! » suivent exactement les courbes Covid (l’absence d’odorat étant un symptôme du Covid).

Comme quoi, corrélation, causalité, tout ça… Mais c’est aussi amusant d’arriver à suivre certains phénomènes là où on ne les attend pas.

Un truc qui m’était arrivé, c’est de voir que certains posts de blog étaient très populaires à certains moments données. En fait c’était lié à une émission de télé-réalité où ils parlaient d’un phénomène et les gens s’étaient mis à chercher et donc à tomber sur mon article : https://lehollandaisvolant.net/?id=20160414195209

FontTeX, un lib pour faire du LaTeX dans les pages web. Il fait le même boulot que MathJax ou KaTeX.
Voir : https://figgchristian.com/projects/fonttex/home

Le truc c’est que FontTex ne s’emmerde pas à inclure des tas de polices d’écritures « serif » pour styliser les équations. FontTex permet de faire les équations dans n’importe quelle police. Ça fait un peu moins fancy, mais il suffit de les mettre en "serif" ou "times" et ça devient beau. Ou alors d’inclure une unique police web (étendue au latin, grec, etc. néanmoins) et ça restera toujours bien plus léger que KaTeX et MathJax :

– FontTeX : 1 fichier, 300 ko
– KaTeX : 86 fichiers, 3 100 ko
– MathJaX : 700 fichiers, 5 800 ko

Notez que pour KaTeX et MathJax, il y a beaucoup de fichiers de police et tous ne sont pas forcément téléchargés pour faire un rendu. Ça n’empêche pas que l’unique fichier fonttex.min.js soit moins gros que katex.min.js.

Il se peut que je teste ça sur Couleur-Science (où j’utilise actuellement KaTeX).

(Merci beaucoup à Sick pour le partage)

+1

Pour ma part, faisans moins de calculs, je m’en sers pour comprendre les grandeurs un peu plus compliquées. Par exemple, quelle relation entre puissance et travail ? Entre énergie et force ? Entre tension électrique et charges ?

Voir là :
https://couleur-science.eu/?d=c6fdee--force-puissance-travail-et-energie
https://couleur-science.eu/?d=7b8ff5--quoi-sert-lanalyse-dimensionnelle

C’est d’ailleurs pour ça que les siècles sont comptés en débutant à 1 et pas à 0.
Ah et J.-C. n’est pas né en l’an 0. Mais en l’an 1.

Y a plusieurs raisons à ça, la plus simple c’est que le « 0 » était inexistant : il n’y a pas de 0 en chiffres romains !

Ensuite, aussi, parce qu’ils n’ont pas décidé de compter les années avec la naissance du Christ. Ils a bien fallu 5 siècles avant que quelqu’un se dise que ça serait pas mal de compter les années.
C’est alors qu’ils ont sorti les bouquins (ie : la Bible) et ont calculé la date de naissance ce J.-C., et sont tombés sur 525.

Ils ont donc antidaté l’année « 1 » et ont décrété que l’année courante était l’an 525. La naissance exact de J.-C. a été placée en fin d’année pour éclipser des fêtes païennes déjà existantes, et ainsi profiter d’une période déjà festive.

Donc si l’on voit quelque part, sur une pièce de monnaie ou sur un tableau qu’il est daté de l’an 200 après J.-C., alors c’est un fake : à l’époque on ne comptait pas encore les années. Et si vous trouvez une pièce d’or datée de « 20 avant J.-C. », c’est encore pire :-D.

Bref, tout ceci a aussi posé de gros problèmes pour la date des fêtes ecclésiastiques, qu’il a fallu recalculer. Sans compter les décalages Solaires/Lunaires entre l’an 1 placé rétrospectivement, et l’année 525, puis entre 525 et 1582 (date du changement de calendrier), puis entre 1582 et la date actuelle.

C’est pour ça que le calcul de la date de Pâques (qui tient compte de la Lune, le Soleil, la Terre, et du calendrier arbitraire à 7 jours, et du décalage de 1582) est bardé d’un si grand nombre de constantes.

Mais j’ai tout déchiffré (non sans mal : j’ai dû mettre un mois à tout comprendre clairement et à écrire l’article).

Via : https://sebsauvage.net/links/?oRKoBQ

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Sur le sujet du « 0 », je vous conseille un livre : Zero, the Biography of a Dangerous Idea, de Charles Seife.

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(Ah et contre le fait de forcer à compter en chiffre romains, surtout pas : https://www.lefigaro.fr/culture/italie-la-presse-s-insurge-contre-l-abandon-des-chiffres-romains-par-carnavalet-20210317
Les gens sont devenus trop cons, donc ils veulent au contraire simplifier tout ça au maximum, donc en tirant le niveau par le bas plutôt que tirer le monde vers le haut en enseignant ça…)

Petit article qui m’a moi même permis de comprendre tout ça. En fait, il n’y a pas grand chose à comprendre : ces nombres imaginaires n’ont rien de mystiques et y a pas besoin de voir en 12 dimensions pour les visualiser. Pas plus que les nombres relatifs.

~

Sinon, pour les web-dev, une petite astuce pour faire afficher des images PNG transparentes à la fois sur les fonds clairs et les fonds sombres.
C’est valables pour les schémas et autres diagrammes :

@media (prefers-color-scheme: dark) {
	img[src$=".png"] {
		filter: invert(1);
	}
}

Ça cible les PNG uniquement (donc les seules avec transparence, pas les JPG (généralement utilisées pour les photos) et ça inverse les couleurs : le noir devient blanc, le blanc devient noir, mais le transparent n’est pas touché.
Seul soucis : le rouge devient vert, etc. Mais sur un schéma ou diagramme, ça ne gêne pas.

Autre méthode, mais moins jolie : ajouter un fond blanc sur toutes les images. Comme ça, sur un texte clair sur fond sombre, les images noir sur fond blanc restent noirs sur fond blanc (et donc lisibles) :

img[src$=".png"] {
	background: white;
}

Ça fait 12 ans que j’ai quitté le lycée, et donc environ 12 ans que je connais l’existence du corps des nombres complexes, c’est à dire les nombres pour lesquelles il existe des racines carrées négatives.

Je n’ai jamais compris d’où ça venait, pourquoi on avait inventé ça, à quoi ils correspondaient.
Les profs n’ont jamais expliqué tout ça Faute de temps ? de capacité de vulgarisation ? n’en ressentaient-ils pas le besoin ? Je ne sais pas pourquoi, mais ça m’a toujours buggué.

Comme les fonctions dérivées, d’ailleurs : on nous a dit « ça existe, maintenant calculez. ». Et je calculais.

Pour les dérivées, j’ai fait un article, là : https://couleur-science.eu/?d=94f1c0--les-fonctions-derivees-en-math
L’écrire m’a permis de mieux comprendre, et c’est un des articles les plus prisés de mon blog, j’ai pas mal de retours dessus (indice qu’il y a un problème de vulgarisation dans les cours de math au collège et a lycée).

Je pense que je referais un jour un paragraphe sur cet article, en expliquant comme Isaac Newton calculait les dérivées (car sa méthode est claire comme le cristal et surtout, sa démarche est motivée : il n’est pas parti d’une idée farfelu « tiens, si je faisais ça aujourd’hui ? », mais plutôt il cherchait à accomplir un truc et il est tombé sur les fonctions dérivées).

Quoi qu’il en soit, pour en revenir aux nombres imaginaires aux racines carrées négatives, je viens de comprendre pourquoi. Pourquoi diable on a eu besoin de ça, pourquoi diable on les sorti du néant, pourquoi diable ils ont les propriétés qu’ils ont. Bref, une lumière vient de s’allumer et je dormirais mieux.

J’en ferais un article (il sera un peu long) et vous verrez, c’est simple en fait ! Par contre ça prendra quelques mois.

À l’image du générateur de figures de Mandelbrot et des figures de Julia, en voici une avec les « figures en papillon », que j’appelle « figures de Lorenz ».

Je ferais un article pour discuter de ce qu’on voit`exactement (probablement en fin d’année, vu que j’en ai un tas d’autres prévus), mais je viens de finir ça et même si l’outil n’est pas encore fini ni au point (certains boutons ne marchent pas encore), je ne peux m’empêcher de partager ça :-)

Essayez de mettre un nombre de points très important (100 000 à 500 000) et un trait très fin (0,25 px). Selon votre ordi, ça prendra ~5 secondes pour charger, mais le résultat est bô. J’ajouterais un bouton pour voir le tracé se faire lentement, façon "écran de veille".

Comme pour les Mandelbrot, toute la « magie » se passe sur seulement 3 lignes de code, correspondant au calcul des 3 équations différentielles d’un attracteur de Lorenz (la fonction mathématique dont la représentation est cette figure).

Un autre objet mathématique magnifique : l’attracteur de Lorenz.

À l’image des figures de Mandelbrot, l’attracteur de Lorenz est lui aussi totalement caché dans les nombres, et il a fallu les des mathématiciens pour les sortir de l’ombre. Je trouve ça tellement beau.

Je prépare ici aussi un "petit outil en ligne" pour les visualiser (en JS). Le truc n’avance pas beaucoup par contre car je joue beaucoup trop avec au lieu de coder :-D.