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C’est à partir de la discussion sur SCMB que j’avais envie de faire un petit article ici, à propos des objets en dimension 4.


C’est quoi une dimension au sens mathématique ?


La dimension d’un espace c’est le nombre de coordonnées qu’il faut pour repérer un point dans cet espace.
Ainsi, en dimension 1 (une demi droite donc) il suffit d’une seule coordonnée pour repérer un point de cette demi-droite par rapport à l’origine.

Dans un plan, un point est repéré par deux coordonnées : X et Y :

plan cartésien
Dans un espace en 3D, comme le monde dans lequel on vit, il faut 3 coordonnées pour se repérer : X, Y et Z généralement.

Dans un espace en 4D, il faut donc en toute logique 4 coordonnées, que je prendrais à W, X, Y, Z. Notre espace étant en 3D, il n’est pas possible de faire une représentation rigoureuse d’un espace en 4D. Il n’est pas possible de le dessiner, car un tel espace ne fait pas parti de notre monde.
Pour autant, ce n’est pas pour ça qu’on ne peut pas faire des calculs avec.

Exemple : en physique, l’état d’un corps (solide, liquide, etc.) est déterminé par la pression, la température et le volume donné à ce corps. On a donc 3 variables qu’on peut associer à un repère, comme ici :
TransitionPhase.png
Mais comment on aurait fait si on avait plus de 3 variables ? Par exemple avec la loi des gaz réels de Van Der Waals : pression, température, volume, covolume-molaire. Il faut une dimension en plus pour pouvoir la dessiner.
Il n’est pas possible de dessiner un graphique en 4D, mais dans un autre monde, un monde en 4D, ça le serait.
Les calculs, eux restent possible : les variables sont des variables comme les autres : c'est juste la représentation qui est impossible

Voilà, cette explication préliminaire donne l’intérêt des espaces munis de repères à plus de 3 dimensions. Toute équation avec par exemple 5, 6 ou 36 paramètres peut se représenter dans un repère à autant de dimensions, dans un monde à autant de dimensions lui aussi.


La dimension 4


D'emblée je vous dis que ce dont je parle n’est pas le temps. Oui, en physique, le temps est une dimension (en relativité par exemple on ne parle plus d’un « point de l’espace » mais plutôt d’un « évènement de l’espace-temps », repéré par X, Y, Z dans l’espace et par l’instant T dans le temps), mais ce n’est pas pour cela que c’est la quatrième. Dans notre espace-temps, c’est l’une des quatres dimensions, mais dans un espace-temps à onze dimensions, il y en aurait une de temps et dix de l’espace.

Ce dont je parle, c’est réellement un espace à quatre dimensions spatiales, où chaque point est repéré par quatre coordonnées.

Tout comme un plan est un espace avec au maximum deux dimensions, notre monde est un espace avec trois dimensions.
Mais pourquoi s'arrêter là ? On peut très bien imaginer un monde avec quatre dimensions, qui contiendrait le notre comme un cas particulier (tout comme le plan est un cas particulier de l'espace).

Ce monde n'est pas le notre, je suppose que jamais nous ne pourrons voir notre monde en 4D. Mais nous pouvons l'imaginer (je pense que la puissance du cerveau est infini sur ce plan).


Segment, carré, cube, hypercube !


Hypercube_construction_fr.png
Le segment, est la base en dimension 1. Le carrée est la figure la plus régulière en base 2 : il est obtenu par duplication du segment puis en les reliants. Idem pour le cube : on prend deux carrés parralèles qu’on relie point à point.
L’hypercube ? Facile : on prend deux cubes et on les relie, sommet à sommet aussi.

Pour reprendre l'idée de Flatland (lien plus bas), en s'imaginant prisonniers d'un plan, si on regarde un carré on voit juste son côté. Si l'on sort du plan, on voit alors tout le carré et ses entrailles.
Par extension, un visiteur de la dimension 4 pourrait voir les entrailles des objets et êtres de la dimension 3.
Cela vous donne, je l'espère, une idée de ce que permet la dimension 4.

C’est comme si la droite était un carré vu selon un axe parralèle à une des dimentions. Le carré aussi par rapport au cube, et le cube par rapport à une des quatres dimensions de l’hypercube.

Cependant… Ce que vous voyez là sur l’image, c’est bien un segment, c’est bien un carré mais ce n’est pas un cube et encore moins un hypercube.

On voit une représentation en 2D (à plat) d’un cube. Pourquoi est-ce différent ? Parce que par définition, le cube a ses faces de même forme et de même surface. Ce n’est pas le cas sur ce dessin. La perspective permet de mieux se représenter un objet d'une dimension supérieure dans une dimension inférieure, mais cette représentation n’est pas l’objet en lui même.
Pour obtenir un vrai cube, il faut le sculpter et non plus le dessiner.

L’hypercube ici, c’est encore pire : c’est un objet en 4D dessiné dans un plan en 2D. Si on essaye de faire une représentation en 3D, on obtient quelque chose comme l’Arche de la Défense, à Paris.
Mais cela reste encore une simple représentation : l’hypercube réel n’est pas comme ça : si on arrivait à voir en 4D, tous les cotés, faces, cubes seront de même longueur, surface, volume.

Cet hypercube n’est qu’une représentation en 3D du véritable hypercube.
Tout comme on pourrait imaginer l’ombre d’un cube sur un plan (on verrait alors quelque chose comme le cube sur l’image ci-dessus), on peut voir l’Arche de la Défense comme la forme 3D représentant une ombre tridimensionnelle d’un hypercube.

Comment voir en 4D ?

Il n’est pas impossible de s’imaginer des choses en 4D voire en 5D, 6D… Comme j'ai dit, je pense que la puissance de l'imagination est infinie.

Si vous voulez vous y tenter, je vous propose le film réalisé par l’ENS de Lyon : Dimensions. C’est un film en licence CC et téléchargeable gratuitement. Il est aussi possible de commander un DVD.

Vous pouvez aussi lire le livre Flatland, d’Abbott : il trace la vie d’un personnage vivant dans un plan 2D et qui est amené à passer quelques temps en 3D. L’auteur y invite finalement le lecteur, habitant d’un monde en 3D, de s’imaginer un univers en 4D.
Le livre date de 1884 et est donc tombé dans le domaine public depuis longtemps. Je vous en partage une édition ici : abbot_flatland.pdf. Je vous préviens quand même que le livre peut aussi être vu comme une critique de la société Victorienne (ce n’est donc pas juste un manuelle de math).

Flatland a aussi été adapté en deux films : Flatland et Flatland the film, ce dernier est en ligne sur Youtube.

Je n’ai pas de méthode directe pour apprendre à imaginer un 4D (je n’y arrive pas encore moi-même), mais les deux méthodes décrites ici (dans Flatland et dans Dimensions) sont similaires : se mettre à la place de créatures en 2D voulant apprendre la 3D, puis transposer tout ça à nous : se mettre en 3D et voulant apprendre la 4D.

Voilà d’autres explications (en anglais et en vidéo) :

Images : 1, 2, 3

image de Kenoir

img/Hypercube_construction_fr.png