numbers
Je vous avais promis un article ou je rassemblerai les astuces pour compter facilement de tête. Allons-y !

Multiplications et Divisions

  • Multiplication par 5 : on multiplie par 10 (facile) et on divise par 2 (facile aussi). Exemple : 39×5 = 390 ÷ 2 = 195.
  • Division par 2 : Je sais pas si c'est moi ou si tout le monde fait ainsi, mais pour ça, je décompose le nombre. Ainsi pour diviser 396 par 2, je compte 396÷2 = (300+90+6)÷2 et là c'est très simple, ça fait 150+45+3 = 198.
  • Multiplication par 25. On sait que 25, c'est 100/4. Donc on multiplie par 100 et on divise par 4. Exemple : 128×25=12800/4 = (12000+800)÷4 = 3000+200 = 3200.
  • Multiplication par 11. Celle ci, tout le monde la connait depuis le CP : un nombre à deux chiffres multiplié par 11 est ce nombre avec entre les deux chiffres, la somme des deux chiffres. Exemple : 11×13=143 car 4=1+3 (les 1 et 3 proviennent du 13). Un autre : 11×72=792.
    En parlant du 11, on voit une belle propriété :
    • 11² = 121
    • 111² = 12 321
    • 1 111² = 1 234 321
    • 11 111² = 123 454 321

  • Les carrés des nombres finissant par 5 (15², 25², 35², …) : on prend le nombre des dizaines du premier nombre que l'on multiplie par le nombre des dizaines du second augmenté de 1. Par exemple : 15×15 se calcul par 1×(1+1) que l'on met devant 25 soit 225. Un autre : 35×35 donne 3×(3+1) que l'on met devant 25 ce qui donne : 1225.
    Et ça marche aussi pour des nombres plus grands : 2005×2005 donne 200×201 que l'on met devant 25 soit : 4 020 025
  • Multiplication par 9 : on sait que 9 = 10-1. On multiplie par 10 le nombre et on le soustrait une fois. Ainsi 9×15 ça fait 150-15 = 135.
  • Le carré de n'importe quel nombre de 2 chiffres. Là, je décompose avec l'identité remarquable : (a+b)² = a²+b² + 2ab.
    Ainsi 34² donne 30²+4²+4×30×2 = 900+16+240 = 1156. Si vous ne connaissez par 30², faites 3²×100 :-).
    Bien entendu, tout ça se fait de tête, c'est bien plus rapide qu'avec la calculette.
  • Celle ci, c'est pas vraiment une règle de calcul, mais une remarque.
    On voit que 13² = 169. Maintenant, inversez les chiffres du 13, ce qui donne 31 et 31² = 961, ce qui est 169 à l'envers. Ça marche avec 10, 11, 12 et 13.
    De plus, si vous connaissez 13², alors vous n'aurez pas de mal à trouver 14², car il suffit d'inverser les deux derniers chiffres : 13²=169 et 14²=196.

Additions


Je passerais sur le +9 qui vaut +10–1, mais je vous donne ma technique pour additionner des nombres plus grands, il ne faut pas commencer par les unités. Mais par l'autre coté. Par exemple, dans 351+512 je préfère calculer comme on prononce les snombres : en commençant par les centaines, puis les dizaines, puis les unités. ça donne 863.
Bien entendu, ici il n'y a pas de retenus, mais il faut les prendre en compte.

Dans les calculs de plus de deux termes, par commutativité, on regroupe ce qui donne des choses simples.
Ainsi 23+4+2+16+7+38 = (23+7)+(38+2)+(16+4) = 30+40+20 = 90. C'est connu mais très pratique.

Un autre truc vraiment tout bête, pour la soustraction : 34-56 = –(56–34). Je met le plus grand devant, c'est alors plus facile à calculer. Le résultat est simplement –22.

N’hésitez pas à faire plus de calcul, mais des calculs plus simples : 998+456 par exemple : on fait 1000+456–2 = 1 454… Ce genre de réflexe vient avec l’entrainement : vous arriverez peu à peu à repérer les simplifications à effectuer.

Les constante


Juste quelques valeurs comme ça, bien pratiques à savoir (plus rapide pour les calculs approchés) :
  • Pi = π ≈3,1416
  • Phi = φ ≈ 1,618 (le nombre d'or, donné par (1+racine(5))/2)
  • e ≈ 2,718 (constant d'Euler, donné par exp(1))
  • racine(2) ≈ 1,414
  • log(2) ≈ 0,3. Pratique, parce que Log(4) devient 2Log(2)≈0,6 ou Log(20)≈1,3…

Conversions Angles


C'est pas tous les jours que l'on s'en sert, mais c'est bien utile aussi. Un angle exprimé en degré, par exemple 20,5° peut être exprimé sous la forme 20°30min. Où 1 degré, c'est 60 minutes. Pour aller vite, je dis que 1/10 de degré, c'est 6 minutes. De cette manière, 12,3° = 12°18'.

Et en binaire ?


Ok, là je m’égare, mais il y a quelques techniques pour convertir en binaire (puis en hexadécimal, par exemple pour la programmation ou les couleurs).
Il suffit de faire des soustractions successives en notant les puissances de deux qui apparaissent dans un nombre :
Exemple, dans 2013 : on trouve 1024, (reste 989), 512 (reste 477), 256 (reste 221), 128 (reste 93), 64 (reste 29), 16 (reste 13), 8 (reste 5), 4 et 1.
Autrement dit, 2013 en binaire, c’est 11111011101.

Pour le hexa, il faut le découper par groupe de 4 : 11111011101 devient 111-1101-1101, soit 7DD.
J’ai un tuto là sinon.

Conclusion


J'ai donné ici quelques règles simples que j'utilise presque tous les jours… Suffit de les connaitre, surtout pour la multiplication. Je vous avais aussi déjà donné ceci, une astuce pour multiplier rapidement et simplement de grands nombres.

EDIT : voilà une autre astuce très pratique (source) :

astuce-calcul.jpg

image de hownowdesign

27 commentaires

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FreakZoid a dit :

Pour la division par 2 et la décomposition, il aurait été plus simple de faire 396/2 = (400-4)/2 = 400/2 - 4-2 ;)

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cym13 a dit :

Mes petits préférés :
- multiplier par pi <=> multiplier par 3 et ajouter 5% (Reviens à multiplier par 3.15 et très facile de tête)
- nombre de chiffre de 2^n = 3*n/10 (basé sur le fait que le logarithme décimal de 2 est 0.301...)

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Gilles a dit :

Pour les grosses multiplications, je fais "au plus près" d'abord.

152 * 30 = (152 * 10) * 3
Et même pour plus gros, mais faut retenir le total précédent à chaque fois ;)

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Poc a dit :

@cym13 :
Donc nombre de chiffres de 1024 = 2^10 = 3*10/10 = 3?

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Le nain de jardin a dit :

Multiplier par 1.5 :
prendre le nombre le diviser par 2 et ajouter
au nombre ex:
54 *1.5 ---> 54/2=27 ---> 54+27 = 81 ---54*1.5 =81

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®om a dit :

Division par 2, c'est simple : tu le convertis en binaire et t'enlèves le bit de poids faible.

;-)

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Shill a dit :

Merci, j'en utilise pas mal mais j'en ai noté quelques unes qui pourront me servir.
Bizzarement, on ne m'a jamais expliqué le x11 en primaire du coup j'ai toujours fait 10n+n

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qwerty a dit :

Les trucs qu'on apprend au CM2. Minute nostalgie.

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titia a dit :

'lo,
pour multiplier par 9, j'utilise mes doigts et j'en ai 10.
Je pose mes mains doigts tendus en face de moi . Je plie ensuite le doigt en partant de la gauche qui est le multiplicateur. Les doigts qui sont à gauche du doigt plié donne la dizaine & les doigts de droite donnent l'unité.
Exemple car mon explication est peut-être pas très claire. Je veux 9*4.
Je vais plier l'index de la main gauche (4ème doigt en partant de la gauche). Il me reste 3 doigts à gauche et 6 à droite. Résultats 36. Merci à Mr Reynault mon instit de CM2.
C'est pas vraiment du calcul mental, mais ça fonctionne aussi.

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Guenhwyvar a dit :

@titia : Tu peux le faire de tête : t'enlèves 1 pour trouver le chiffre des dizaines, et tu cherches le chiffre des unités tel que la somme des deux fasse 9.
9 × 2 ? 2 - 1 = 1 → 9 × 2 = 18 (car 1 + 8 = 9)
9 × 8 ? 8 - 1 = 7 → 9 × 8 = 72 (car 7 + 2 = 9)
Bon, ça marche que de 1 à 10 (avec « 09 » en résultat pour 1, mais si t'as besoin d'une astuce pour ça, t'as vraiment des problèmes ^^)

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Guenhwyvar a dit :

Arf, j'ai oublié de modifier un chiffre dans le copier-coller pour le second exemple… La fonction d'édition se fait désirer, Timo ! :D

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JerOrc a dit :

"Les carrés des nombres finissant par 5" est un cas particulier de la méthode de calcul que j'utilise pour "les nombres de la même dizaine dont la somme des unités fait 10".
Par exemple pour les multiplications telles que : 23x27, 74x76, 102x108, ...

- pour 23x27 le résultat est de la forme 2x(2+1) que l'on met devant 3x7 soit 621
- 74x76 c'est 7x(7+1) devant 4x6 soit 5624
- 102x108 c'est 10x11 devant 2x8 soit 11016

Rien de tel pour impressionner les copains quand j'étais au collège face à une calculatrice !

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Le Hollandais Volant a dit :

@JerOrc :


Rien de tel pour impressionner les copains quand j'étais au collège face à une calculatrice !


Héhé, moi c’est sur les divisions :p
J’arrive à poser les divisions dans ma tête comme on fait sur papier, et du coup donner des résultats aussi précis qu’on veut (genre 5 chiffres après la virgule).

Exemple : 70/12 = 5 reste 10 ; 100/12 = 8 reste 4 ; 40/12 = 3 reste 4 ; etc.
Du coup ça fait : 5,83333…

Aussi un autre truc bien sympa, c’est utiliser les ordres de grandeurs : ça a bien marché en classe de physique, vu qu’on utilise des valeurs comme C, Pi ou k qui s’arrondissent pas trop mal.
Du coup, sortir en 3 secondes que ce sera « un peu moins de 1500 », alors que le résultat exacte fait 1489,8, ça fait son effet aussi :D.

(mais le mieux c’est quand le prof de math avait demandé la valeur de 2^10 : qui fait effectivement 1024, mais c’est la culture #geek qui permet de connaitre par cœur toutes les puissances de 2, jusqu’à 2^19 en ce qui me concerne, après je dois calculer)

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Lagaffe a dit :

Rhaaaa, les approximations de nombres remarquables... >_<
Je sais bien que parfois on a besoin de faire des calculs approchés qui font intervenir Pi ou e ou d'autres jolis nombres, et qu'on a pas d'autre choix que de les remplacer par une approximation, mais ça me frustre toujours d'entendre un physicien qui dit "bon alors Pi c'est 3" pour un calcul.
Non ! Pi c'est Pi, le seul l'unique.

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cym13 a dit :

@Poc : Autant pour moi, j'ai été impréçis. Cela donne en fait la puissance de 10 correspondante, il faut donc ajouter 1 pour les petites puissances pour avoir le nombre de chiffre.

De toute manière il ne s'agit que d'un ordre de grandeur : 2^1000000 -> 301030 chiffres ; estimation : 300000 chiffres.
Erreur de 0.3%. Je trouve cela raisonnable ;)

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Poc a dit :

@cym13 : au moins on sait que c'est une approximation :)

Je me souviens la première fois en meca à la fac quand j'ai vu une prof simplifier sin(x) par x sous le prétexte qu'on "était proches de zéro". Ça m'avait paru un sacrilège à l'époque...

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Poc a dit :

Petite astuce qui simplifié la vie quand elle est applicable: pour le produit de nombres de même parité, passer par le carré de leur moyenne est parfois plus simple.

Genre 54 * 66 = (60-4)(60+4) = 3600 - 16 = 3584

Ça arrive quand même assez souvent.

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Poc a dit :

@Poc :
Sauf quand on est étourdi.
Bien sûr c'est (60-6)(60+6) = 3600-36 = 3564

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Chlack a dit :

Pour les carrés, j'utilise souvent la propriété x² = (x - 1)² + (x - 1) + x (si, si, faîtes le calcul à partir de la décomposition de (x - 1)²).
Par exemple, 31 * 31 = 30 * 30 + 30 + 31 = 900 + 30 + 31 = 961.
Et inversement 39 * 39 = 40 * 40 - 40 - 39 = 1600 - 40 - 39 = 1521.

De proche en proche, et en combinaisons avec d'autres techniques, ça aide...

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gilles a dit :

Bon, je rentre me masturber

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ji a dit :

je vous défie de calculer les puissances en moins de sept seconde.

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Ogrou a dit :

bravo JerOrc ! 70/12 fait bel et bien 5.833333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 !

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Jacques- a dit :

@Chlack :

C'est bien vrai et ça se comprend encore mieux avec l'

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Soit x² = (x + 1)² - 2(x + 1) + 1 idem x² = (x - 1)² + 2(x - 1) + 1
Ou . x² = (x + 2)² - 4(x + 2) + 4 idem x² = (x - 2)² + 4(x - 2) + 4
Et . x² = (x + 3)² - 6(x + 3) + 9 idem x² = (x - 3)² + 6(x - 3) + 9

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